عن الدورة
تأخذك هذه الدورة عبر ما يقارب خمسة أسابيع من مقرر MATH 1554 (الجبر الخطي) كما يُدرَّس في كلية الرياضيات بمعهد جورجيا للتكنولوجيا. في الجزء الأول ستستكشف طرائق حساب حل تقريبي لنظام معادلات غير متسق لا يملك حلولًا. يرتكز النهج العام على بناء الخوارزميات حول مفهوم «المسافة». لذلك ستبدأ بتناول أفكار المسافة والتعامد داخل فضاء متجهي، ثم ستطبّق التعامد لتحديد النقطة داخل فضاء جزئي (Subspace) التي تكون الأقرب إلى نقطة تقع خارجه. يلعب هذا المفهوم دورًا محوريًا في فهم كيفية التعامل مع الأنظمة غير المتسقة. وعندما نختار الفضاء الجزئي ليكون فضاء الأعمدة لمصفوفة، ستطوّر طريقة لإنتاج حلول تقريبية تُعرف بحلول «المربعات الصغرى» (Least Squares) لهذه الأنظمة. بعد ذلك ستستكشف تطبيقًا آخر للإسقاطات المتعامدة يتمثل في إنشاء تحليل/تفكيك للمصفوفات (Matrix Factorization) يُستخدم على نطاق واسع. ستتعلم كيف تُبنى قواعد متعامدة ومتعامدة معيارية، وكيف تُستخدم عمليات مثل غرام–شميدت والتحليل QR لفهم خصائص المصفوفات وتوصيفها، وربط ذلك بالمسافات والإسقاطات كأساس خوارزمي لحل المشكلات الخطية عمليًا.
ماذا ستتعلم
- حساب الضرب النقطي بين متجهين، وطول المتجه، والمسافة بين النقاط، والزوايا بين المتجهات
- تطبيق المبرهنات المتعلقة بالمتممات المتعامدة وعلاقتها بفضاء الصفوف وفضاء العدم لتوصيف المتجهات والأنظمة الخطية
- حساب الإسقاطات المتعامدة والمسافات لتمثيل متجه كتوليفة خطية من متجهات متعامدة، وبناء تقريبات للمتجهات باستخدام الإسقاطات، وتوصيف قواعد للفضاءات الجزئية وبناء قواعد متعامدة معيارية
- تطبيق عملية غرام–شميدت التكرارية وتحليل QR لبناء أساس متعامد
- بناء تحليل/تفكيك QR لمصفوفة
- توصيف خصائص المصفوفة باستخدام تحليل QR الخاص بها
المتطلبات المسبقة
- نظرًا للطبيعة التراكمية للمادة، يُنصح بأن يكون الطالب قد أكمل الدورة السابقة ضمن سلسلة الجبر الخطي ذات الأجزاء الأربعة على edX: الجبر الخطي 3.
المدرسون
Greg Mayer
Academic Professional in the School of Mathematics