عن الدورة
تزداد قدرتك على تطبيق المفاهيم التي قدمناها في الدورة السابقة عندما تتمكن من إجراء العمليات الجبرية على المصفوفات. في بداية هذه الدورة ستتعرف إلى كيفية توظيف «مبرهنة المصفوفة القابلة للعكس» لوصف الطريقة التي يمكن بها استخدام مصفوفة مربعة لحل المعادلات الخطية. تؤدي هذه المبرهنة دوراً أساسياً في الجبر الخطي لأنها تجمع كثيراً من المفاهيم التي قُدمت في الدورة الأولى ضمن فكرة واحدة موجزة ومترابطة. بعد ذلك ستستكشف مبرهنات وخوارزميات تمكّنك من تطبيق الجبر الخطي بطرق تتضمن مصفوفتين أو أكثر. ستدرس المصفوفات المُجزأة (Partitioned Matrices) وكيفية التعامل معها، إضافة إلى تفكيكات/تحليلات المصفوفات (Matrix Factorizations) التي تظهر في معظم الاستخدامات الحديثة للجبر الخطي، سواء في التحليل النظري أو في الحلول العددية. كما ستتناول الدورة تطبيقين من تطبيقات جبر المصفوفات: تطبيقاً في الاقتصاد عبر نماذج الإدخال-الإخراج (Leontief Input-Output) لتحليل العلاقات بين القطاعات الاقتصادية باستخدام المصفوفات والمعكوسات، وتطبيقاً في رسوميات الحاسوب (Computer Graphics) لفهم كيف تُستخدم عمليات المصفوفات في تمثيل التحويلات ومعالجة البيانات الهندسية. تمتد هذه الدورة تقريباً على محتوى ثلاثة أسابيع من مقرر MATH 1554 (الجبر الخطي) كما يُدرَّس في مدرسة الرياضيات بمعهد جورجيا للتكنولوجيا (Georgia Tech).
ماذا ستتعلم
- تطبيق جبر المصفوفات، ومنقول المصفوفة، ومصفوفتي الصفر والهوية لحل معادلات المصفوفات وتحليلها.
- تطبيق التعريف الرسمي للمصفوفة المعكوسة وخصائصها الجبرية لحل الأنظمة الخطية وتحليلها.
- وصف قابلية المصفوفة للعكس باستخدام مبرهنة المصفوفة القابلة للعكس (Invertible Matrix Theorem).
- تطبيق المصفوفات المُجزأة لحل مسائل تتعلق بقابلية المصفوفة للعكس وبضرب المصفوفات.
- حساب تحليل LU لمصفوفة وتطبيقه لحل أنظمة المعادلات.
- تطبيق جبر المصفوفات والمعكوسات لحل مسائل الإدخال-الإخراج لليونتيف (Leontief Input-Output) وتحليلها.
المتطلبات المسبقة
- نظراً للطبيعة التراكمية للمادة، يُنصح بأن يكون الطالب قد أكمل الدورة السابقة ضمن سلسلة الجبر الخطي المكونة من أربع دورات على edX: الجبر الخطي I.
المدرسون
Greg Mayer
Academic Professional in the School of Mathematics