عن الدورة
تُعرَّف متتالية الأعداد الحقيقية بأنها دالة من N إلى R. ومن المعتاد كتابة an := f(n) للدلالة على قيمة الدالة f عند العدد n. فعلى سبيل المثال، يمكن تعريف متتالية على الشكل f(n) := an := 12n، أي إن a0 = 1، وa1 = 12، وa2 = 14، وa3 = 18، ... . المفهوم المركزي في هذا المقرر هو مفهوم نهاية المتتالية: وهو عدد حقيقي تقترب إليه المتتالية المعطاة، بصورة حدسية، كلما تقدمنا في عناصرها. فمثلًا، المتتالية an المذكورة أعلاه لها النهاية صفر. سنقوم بصياغة مفهوم النهاية بطريقة دقيقة وصارمة، ثم نطوّر طرقًا لإثبات وجود النهاية أو عدمها. إضافة إلى ذلك، سنكتشف العلاقة بين مفهوم النهاية وبين مفهومي الحد الأدنى الأعلى (infimum) والحد الأعلى الأدنى (supremum) لمجموعة ما. كما أن من التطبيقات المهمة جدًا لمتتاليات الأعداد الحقيقية أن كل عدد حقيقي يمكن اعتباره مرتبطًا بمتتالية مناسبة، وهو ما يفتح الباب لفهم أعمق لبنية الأعداد الحقيقية وخصائصها. يركّز هذا المقرر أيضًا على المتتاليات المعرفة بالعلاقة التراجعية، وعلى العمليات الجبرية على النهايات، وعلى المتتاليات المتباينة، وعلى مبرهنة العارضتين (مبرهنة العصا الصينية/الحدّين)، بما يساعد على بناء أساس متين في التحليل الرياضي.
ماذا ستتعلم
- فهم مفهوم متتاليات الأعداد الحقيقية
- التعامل مع المتتاليات المعرفة بالعلاقة التراجعية
- إيجاد نهاية متتالية
- تمييز المتتاليات المتباينة
- تطبيق العمليات الجبرية على النهايات
- استخدام مبرهنة العارضتين
المتطلبات المسبقة
- خصائص حقل الأعداد الحقيقية
المدرسون
Peter Wittwer
PhD